Question

11．设F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦点，动点P在椭圆上，则$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范围为（　　）

• A． [0，1]
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
• D． [-$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 由椭圆方程可得椭圆的长轴长及焦距，再由余弦定理求得$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范围．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，
则a=2，2a=4，c=$\sqrt{3}$，2c=2$\sqrt{3}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则m+n=2a=4，
再设∠F₁PF₂=θ，
则$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=cosθ=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2{c）}^{2}}{2mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-12}{2mn}$
=$\frac{16-12-2mn}{2mn}=\frac{2}{mn}-1$．
∵mn$≤（\frac{m+n}{2}）^{2}=4$，
∴$\frac{2}{mn}≥\frac{1}{2}$，则$\frac{2}{mn}-1≥-\frac{1}{2}$，
当P为椭圆长轴两端点时，cosθ有最大值为1．
∴$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范围为[$-\frac{1}{2}，1$]．
故选：D．

点评 本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位，是中档题．