Question

2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos²A=$\frac{5}{3}$a．
（I）求$\frac{b}{a}$；
（Ⅱ）若c²=a²+$\frac{8}{5}\;{b^2}$，求角C．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．
（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）由正弦定理得，${sin^2}AsinB+sinB{cos^2}A=\frac{5}{3}sinA$，…（3分）
即$sinB（{sin^2}A+{cos^2}A）=\frac{5}{3}sinA$，
故$sinB=\frac{5}{3}sinA，所以\frac{b}{a}=\frac{5}{3}$． …（6分）
（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是${c^2}={a^2}+\frac{8}{5}\;{b^2}=9{t^2}+\frac{8}{5}•25{t^2}=49{t^2}$．
即c=7t．…（9分）
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{9{t^2}+25{t^2}-49{t^2}}}{2•3t•5t}=-\frac{1}{2}$．
所以$C=\frac{2π}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．