Question

10．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和单调增区间；
（Ⅱ）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
（Ⅰ）由周期公式可得最小正周期，解$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$可得单调增区间；
（Ⅱ）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$可得$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，易得三角函数的最值．

解答 解：由三角函数公式化简可得$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
（Ⅰ）由周期公式可得函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$可得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]（k∈Z）$；
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，$f{（x）_{max}}=sin\frac{π}{2}=1$，
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$时，$f{（x）_{min}}=sin\frac{7π}{6}=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数单调性和最值以及周期性，属基础题．