Question

1．已知点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），当λ为何值时：
（1）点P在直线y=2x上？
（2）点P在第三象限内？

Answer 1

分析 （1）可求出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐标，从而得出$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}=（3+5λ，1+7λ）$，而点P在直线y=2x上，从而可设P（x，2x），这便可得到（x-2，2x-3）=（3+5λ，1+7λ），从而得到$\left\{\begin{array}{l}{x-2=3+5λ}\\{2x-3=1+7λ}\end{array}\right.$，从而可解出λ的值；
（2）设点P（x，y），从而有（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ），这样即可得到$\left\{\begin{array}{l}{x=5+5λ}\\{y=4+7λ}\end{array}\right.$，而点P在第三象限内，从而有$\left\{\begin{array}{l}{5+5λ＜0}\\{4+7λ＜0}\end{array}\right.$，这样即可解出λ的取值范围，即得出λ为何值时点P在第三象限内．

解答 解：$\overrightarrow{AB}=（3，1），\overrightarrow{AC}=（5，7）$；
∴$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}=（3+5λ，1+7λ）$；
（1）若P在直线y=2x上，设P（x，2x），则$\overrightarrow{AP}=（x-2，2x-3）$；
∴（x-2，2x-3）=（3+5λ，1+7λ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=3+5λ}\\{2x-3=1+7λ}\end{array}\right.$；
解得λ=-2；
即λ=-2时，点P在直线y=2x上；
（2）设P（x，y），则$\overrightarrow{AP}=（x-2，y-3）$；
∴（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=3+5λ}\\{y-3=1+7λ}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=5+5λ}\\{y=4+7λ}\end{array}\right.$；
∵P在第三象限内；
∴x＜0，y＜0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{5+5λ＜0}\\{4+7λ＜0}\end{array}\right.$；
解得λ＜-1；
即λ＜-1时，点P在第三象限内．

点评 考查根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数乘和加法运算，向量的坐标相等时，在x轴，y轴上的坐标分别对应相等．