Question

6．如图所示，在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影D与AC的中点重合，已知BC=2AC=8，AB=4$\sqrt{5}$．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若直线AB与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{10}$，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，由PD⊥平面ABC可得PD⊥BC，故BC⊥平面PAC，得出平面PBC⊥平面PAC；
（2）建立空间直角坐标系，设PD=h，则平面PBC的法向量与$\overrightarrow{AB}$的夹角的正弦等于$\frac{\sqrt{15}}{10}$，列方程解出棱锥的高PD．

解答 （1）证明：∵点P在平面ABC上的射影D是AC的中点，
∴PD⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴PD⊥BC．
∵BC=2AC=8，AB=4$\sqrt{5}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又∵PD?平面PAC，AC?平面PAC，PD∩AC=D，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
设PD=h，则$\overrightarrow{CP}$=（2，0，h），$\overrightarrow{CB}$=（0，8，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+hz=0}\\{8y=0}\end{array}\right.$，令z=-2，得$\overrightarrow{n}$=（h，0，-2）．
∵$\overrightarrow{AB}$=（-4，8，0），设AB与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=$|\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{4h}{4\sqrt{5}×\sqrt{{h}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，解得h=2$\sqrt{3}$．
∴三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×8×4×2\sqrt{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的应用，使用向量可方便求出关于空间角的计算问题，属于中档题．