Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移φ个单位，所的图象关于y轴对称，求φ的最小正值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由二倍角公式化简解析式可得：f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）把函数式f（x）=sin2x+cos2x化积为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），然后利用三角函数的图象平移得到y=

2

sin（2x+

π

4

-2φ），结合该函数为偶函数求得φ的最小正值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z
（2）把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=

2

sin[2（x-φ）+

π

4

]=

2

sin（2x+

π

4

-2φ）．
又所得图象关于y轴对称，则

π

4

-2φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
∴当k=-1时，φ有最小正值是

3π

8

．

点评：本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了三角函数奇偶性的性质，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，属于中档题．