Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（　　）

• A、1
• B、±2
• C、

  1

  2

  或3
• D、1或2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由已知中定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．

解答： 解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=

1

c

f（2x）=

1

c

（1-|2x-3|），
此时当x=

3

2

时，函数取极大值

1

c

；
当2≤x≤4时，
f（x）=1-|x-3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x≤8时，2＜

x

2

≤4，
则f（x）=cf（

x

2

）=c（1-|

x

2

-3|），
此时当x=6时，函数取极大值c．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（

3

2

，

1

c

），（3，1），（6，c）共线，
∴

1- 1 c

3 2

=

c-1

3

，
解得c=1或2．
故选D．

点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．