Question

1．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=2，则四棱锥A-BB₁D₁D的体积为$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 推导出AC⊥平面BB₁D₁D，从而四棱锥A-BB₁D₁D的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{四边形B{B}_{1}{D}_{1}D}×（\frac{1}{2}AC）$，由此能求出结果．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=2，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
又BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∴四棱锥A-BB₁D₁D的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{四边形B{B}_{1}{D}_{1}D}×（\frac{1}{2}AC）$
=$\frac{1}{3}×BD×B{B}_{1}×\frac{1}{2}AC$
=$\frac{1}{3}×4\sqrt{2}×2×\frac{1}{2}×4\sqrt{2}$
=$\frac{32}{3}$．
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．