Question

18．已知抛物线的顶点为原点，焦点为F（1，0），过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|AB|=6，则点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设出过焦点的直线方程，利用直线与抛物线联立，求出M的坐标，然后求解P的坐标．

解答 解：抛物线的顶点为原点，焦点为F（1，0），可得抛物线为：y²=4x，p=2，
过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，|AB|=6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AB|=6=x₁+x₂+p
可得x₁+x₂=4．
过焦点的直线设为y=k（x-1），则：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，
可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=4，解得k=$±\sqrt{2}$，
y₁+y₂=$±\sqrt{2}$（x₁+x₂-2）=$±2\sqrt{2}$，
中点的纵坐标为：$±\sqrt{2}$，
代入抛物线方程可得：x=$\frac{1}{2}$．
则点P的坐标为：（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．