Question

15．二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2），且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为$\sqrt{2}$，则f（x）的解析式为（　　）

• A． x²+$\frac{8}{7}$x+1
• B． $\frac{2}{7}$x²+x+1
• C． $\frac{2}{7}$x²+$\frac{8}{7}$x
• D． $\frac{2}{7}$x²+$\frac{8}{7}$x+1

Answer 1

分析 由题意得，函数f（x）图象关于x=-2对称，-$\frac{b}{2a}$=-2，c=1，|x₁-x₂|=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-4•\frac{1}{a}}$=$\sqrt{16-\frac{4}{a}}$=$\sqrt{2}$，解得 a、b的值，即得函数f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x-2）=f（-x-2），∴函数f（x）图象关于x=-2 对称，
设二次函数f（x）=ax²+bx+c，则-$\frac{b}{2a}$=-2，
∵它的图象在y轴上的截距为1，∴c=1，
∵它的图象在x轴上截得的线段长为$\sqrt{2}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-4•\frac{1}{a}}$=$\sqrt{16-\frac{4}{a}}$=$\sqrt{2}$，∴a=$\frac{2}{7}$，b=$\frac{8}{7}$，
∴f（x）=$\frac{2}{7}$x²+$\frac{8}{7}$x+1．
故选：D．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式．