Question

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称图形，则f（x）在[-4，4]上的单调性是（　　）

• A、[-4，0]上是增函数[0.4]上是减函数
• B、增函数
• C、减函数
• D、不具备单调性

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据已知条件容易求得a=1，b=0，所以得到f（x）=x³-48x，f′（x）=3x²-48，所以x∈[-4，4]时，f′（x）≤0，所以得出f（x）在[-4，4]上是减函数．

解答： 解：∵f（x）图象关于原点成中心对称图形；
∴f（-x）=-f（x）；
∴a=1，b=0；
∴f（x）=x³-48x；
∴f′（x）=3x²-48；
∵x∈[-4，4]；
∴f′（x）≤0；
∴f（x）在[-4，4]上单调递减．
故选C．

点评：考查图象关于原点对称时，f（-x）与f（x）的关系，以及根据导数符号判断函数单调性的方法．