Question

【题目】在三棱柱中，侧棱底面，，，。

（Ⅰ）若为线段上一点，且，求证：平面；

（Ⅱ）若分别是线段的中点，设平面将三棱柱分割成左、右两部分，记它们的体积分别为和，求。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；（Ⅱ）借助题设条件运用柱体和锥体的体积公式求解。

试题解析：（Ⅰ）证明：如图所示，在平面中，过点作，与相交于点。因为，所以，所以，，，四点在同一平面内。平面平面。由，得。，所以。，，所以，，所以，所以，即。又由底面，得。

又且平面，平面。所以平面。

（Ⅱ）解：如下图所示，当，分别是，中点时，直线与棱相交于的中点。连接，。则三角形就是平面截三棱柱的截面。

截面右侧为四棱锥。所以。又三棱柱的体积。

所以。