Question

1．已知α∈（0，π），sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，则cosα=（　　）

• A． $\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{1±2\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{-1-2\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 由α的范围、sin（α+$\frac{π}{6}$）的值以及正弦函数的性质判断出“α+$\frac{π}{6}$”的范围，由平方关系求出cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，根据两角差的余弦函数公式求出cosα的值．

解答 解：∵α∈（0，π），∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∵0＜sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$，∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），
则cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）
=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}+$$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$，
综上可得，cosα的值是$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$，
故选：B．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，以及正弦函数的性质，正确缩小角的范围以及表示所要求的角是解题的关键，属于中档题．