Question

【题目】在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.

（1）求二面角的正弦值；

（2）试在平面上找一点，使得平面.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到 各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出.（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用 建立方程求得，，进而求得点的坐标.

试题解析：

（1）因为底面，过作，则，

以为坐标原点，方向为轴的正半轴，

方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，

设平面的法向量为，则，

，解得，又平面的法向量为，

所以，

所以.

（2）设点的坐标为，因为平面，

所以，即，也即，，

又，，，

所以 ，

所以得，，即，

，，所以，

所以点的坐标为.