Question

7．“一江春水向东流，江中浮玉千古幽”，中流砥柱焦山四面环江（如图所示）．若江水以12.5km/h的速度自西向东流，游客需在长江南岸的A码头乘船出发，0.1h后到达焦山岛的入口B码头，设$\overrightarrow{AN}$为正北方向，$\overrightarrow{AE}$为正东方向，B码头在A码头北偏西30°方向上，并与A码头相距0.75km．
（1）求船的静水速度；
（2）求航行过程中船头方向与正北方向的夹角余弦值．

Answer 1

分析 （1）可由条件得出船的实际航行速度为7.5km/h，可用向量的知识求船的静水速度：作有向线段$\overrightarrow{AC}$表示水流速度，$\overrightarrow{AD}$表示船的实际速度，根据向量加法的平行四边形法则作平行四边形ACDE，然后由余弦定理即可求出船的静水速度；
（2）由正弦定理可求出sin∠DAE的值，从而得出cos∠DAE的值，由两角和的余弦公式即可求出cos（∠DAE+30°），即求出航行过程中船头方向与正北方向的夹角余弦值．

解答 解：（1）根据题意知，船的实际航行速度为7.5km/h；
如图，作向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，使$|\overrightarrow{AC}|=12.5，|\overrightarrow{AD}|=7.5$，$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AE}$同向，$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AB}$同向，连接CD，过A作CD平行线，过D作AC平行线，两平行线交于点E：则，在ADE中，AD=7.5，DE=12.5，∠ADE=120°，由余弦定理得：
AE²=AD²+DE²-2AD•DEcos120°=$7．{5}^{2}+12．{5}^{2}+2×7.5×12.5×\frac{1}{2}$=306.25；
∴AE=17.5；
∴船的静水速度为17.5km/h；
（2）由正弦定理，$\frac{DE}{sin∠DAE}=\frac{AE}{sin∠ADE}$；
即$\frac{12.5}{sin∠DAE}=\frac{17.5}{sin120°}$；
∴$sin∠ADE=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，∴$cos∠ADE=\frac{11}{14}$；
据题意知，航行过程中船头方向与正北方向的夹角为∠DAE+30°；
∴cos（∠DAE+30°）=cos∠DAEcos30°-sin∠DAEsin30°=$\frac{11}{14}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

点评 考查用向量的方法解决实际问题的能力，向量加法的平行四边形法则，以及正余弦定理，两角和的余弦公式．