Question

15．已知在直角坐标系中，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（x，1）
（Ⅰ）若A，B，C可构成以角B为锐角的三角形，求x的取值范围；
（Ⅱ）当x=3时，直线OC上是否存在点M，使$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BM}$同方向？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若直线OC上存在点M，使$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）令$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}＞0$，取出$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$同向的特殊情况即可；
（II）求出直线OC方程，假设存在M符合条件，列出方程解出；
（III）假设存在符合条件的M，根据向量垂直得出方程，则方程有解，列出不等式解出即可．

解答 解：（I）$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=（-2，2），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=（x-3，1）．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2（3-x）+2=8-2x，
∵B为锐角，∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}＞0$，即8-2x＞0，解得x＜4．
当$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$同向时，-2-2（x-3）=0，解得x=2．
∴x＜4且x≠2．
（II）x=3时，直线OC的方程为y=$\frac{1}{3}x$，设在直线OC上存在M（x，$\frac{1}{3}x$）使得$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BM}$同方向，
∵$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}$=（x-3，$\frac{1}{3}x$）．∴$\frac{1}{x-3}=\frac{2}{\frac{1}{3}x}$＞0，解得x=$\frac{18}{5}$．
∴M（$\frac{18}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
（III）设直线OC上一点M（a，b），则bx-a=0．即a=bx．
∴$\overrightarrow{MA}$=（1-bx，2-b），$\overrightarrow{MB}$=（3-bx，-b），
∵$\overrightarrow{MA}⊥\overrightarrow{MB}$，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，即（1-bx）（3-bx）-b（2-b）=0，
化简得：（1+x²）b²-（4x+2）b+3=0．
∴△=（4x+2）²-12（1+x²）≥0，即x²+4x-2≥0．解得x$＜-2-\sqrt{6}$或x＞-2+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直，平行与数量积的关系，属于中档题．