Question

20．计算：
（1）$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{9×11}$；
（2）$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{98×99×100}$．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$即可得出．
（2）利用$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n（n+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{8}-\frac{1}{10}）$+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$
=$\frac{36}{55}$．
（2）∵$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n（n+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$．
∴$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{98×99×100}$=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}）$+$（\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}）$+…+$（\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{9900}）$
=$\frac{4949}{19800}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．