Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1+a_n-1-2=2a_n，记b_n=a_n+1-a_n
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式及数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由条件可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，即为b_n=b_n-1+2，运用等差数列的定义，即可得证；
（2）运用数列恒等式可得a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），结合等差数列的求和公式，计算即可得到{a_n}的通项公式；求得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：a_n+1+a_n-1-2=2a_n，可得
a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，
即为b_n=b_n-1+2，
则{b_n}是首项为a₂-a₁=2，公差为2的等差数列；
（2）由b_n=2n=a_n+1-a_n，可得
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+4+…+2n-2=1+$\frac{1}{2}$（n-1）（2n）=n²-n+1；
又$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有前n项和S_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查等差数列的判断和通项公式及求和公式的运用，考查构造数列法和数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．