Question

19．已知不等式组为$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≥x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$，问：
（Ⅰ）点（x，y）满足不等式，求：
（1）z=3^x+2y的最大值；
（2）z=|4x+3y+1|的最大值；
（3）z=（x+1）²+（y+1）²的最大值；
（4）z=$\frac{2y}{3x+9}$的最大值；
（5）z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$的最小值；
（6）z=x-y+|x+2y+3|的最大值．
（Ⅱ）点（a+b，a-b）满足不等式，求2a+b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先画出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≥x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，
（1）求出x+2y的最大值，然后求解z=3^x+2y的最大值；
（2）利用|4x+3y+1|的几何意义，求解目标函数的最大值；
（3）利用（x+1）²+（y+1）²的几何意义求解最大值；
（4）z=$\frac{2y}{3x+9}$的几何意义求解表达式的最大值；
（5）化简z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$的形式，通过直线的斜率求解表达式的最小值；
（6）化简z=x-y+|x+2y+3|的形式，利用几何意义求解最大值．
（Ⅱ）点（a+b，a-b）满足不等式，点的可行域，然后求2a+b的最大值．

解答 解：（Ⅰ）
（1）约束条件不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≥x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$的可行域如下图示：

A（1，1）；B（2，0），O（0，0）
由图易得目标函数z=3^x+2y的最大值在A（1，1）处取得，z=3^x+2y的最大值为：3¹⁺²=27．
（2）z=|4x+3y+1|的最大值，就是可行域内的点到直线4x+3y+1=0距离的5倍，

由图形可知B到直线4x+3y+1=0距离最大，
此时Z=|4x+3y+1|=9．
（3）z=（x+1）²+（y+1）²的几何意义是：可行域内的点与（-1，-1）距离的平方，易知B到（-1，-1）的距离最大，此时：Z=（2+1）²+（0+1）²=10．
（4）z=$\frac{2y}{3x+9}$=$\frac{2}{3}•\frac{y}{x+3}$的几何意义是可行域内的点与（-3，0）连线的斜率的$\frac{2}{3}$倍，
由图形可知，A与（-3，0）连线的斜率最大，可得：z=$\frac{2}{3+9}=\frac{1}{6}$；
（5）z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$-$\frac{y}{x}$，$\frac{y}{x}$表示可行域的点与原点连线的斜率，$\frac{y}{x}$∈[0，1]，-$\frac{y}{x}$∈[-1，0]，$\frac{x}{y}$∈[1，+∞），
z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$∈[0，+∞）．z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$的最小值的最小值为：0；
（6）z=x-y+|x+2y+3|=2x+y+3，平移直线2x+y+3=t，
当直线经过可行域的B点时，z取得最大值2×2+0+3=7．
（Ⅱ）点（a+b，a-b）满足不等式，可得：$\left\{\begin{array}{l}{0≤a+b≤2}\\{0≤a-b≤2}\end{array}\right.$，
不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{0≤a+b≤2}\\{0≤a-b≤2}\end{array}\right.$，的可行域为：

z=2a+b经过可行域的A点时，z取得最大值为：2×2+2=6．

点评 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．利用表达式的几何意义求解表达式的最值是解题的关键．