Question

12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{OC}$|的范围；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设出点C的坐标，利用$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，求出点C的坐标，再求模长|$\overrightarrow{OC}$|的取值范围；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，讨论m的取值范围，求出对应f（x）取得最小值时m的值即可．

解答 解：（1）设点C（a，b），
∵A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），
∴$\overrightarrow{AC}$=（a-1，b-cosx），
$\overrightarrow{CB}$=（1+cosx-a，cosx-b）；
又$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=2（1+cosx-a）}\\{b-cosx=2（cosx-b）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1+\frac{2}{3}cosx}\\{b=cosx}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OC}$=（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx）；
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}$=${（1+\frac{2}{3}cosx）}^{2}$+cos²x
=$\frac{13}{9}$cos²x+$\frac{4}{3}$cosx+1
=$\frac{13}{9}$（cos²x+$\frac{12}{13}$cosx+$\frac{36}{169}$）-$\frac{4}{13}$+1
=$\frac{13}{9}$${（cosx+\frac{6}{13}）}^{2}$+$\frac{9}{13}$；
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]，
∴当cosx=0时，${\overrightarrow{OC}}^{2}$取得最小值1，
cosx=1时，${\overrightarrow{OC}}^{2}$取得最大值$\frac{34}{9}$；
∴1≤|$\overrightarrow{OC}$|≤$\frac{\sqrt{34}}{3}$；
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|
=（1+$\frac{2}{3}$cosx）+cos²x-（2m+$\frac{2}{3}$）$\sqrt{{（1+cosx-1）}^{2}{+（cosx-cosx）}^{2}}$
=（1+$\frac{2}{3}$cosx）+cos²x-（2m+$\frac{2}{3}$）cosx
=cos²x-2mcosx+1；
又f（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$，cosx∈[0，1]，
∴当0≤m≤1时，cosx=m，f（x）取得最小值m²-2m²+1=-$\frac{3}{2}$，解得m=$\frac{\sqrt{10}}{2}$不合题意，舍去；
当m＞1时，cosx=1，f（x）取得最小值1-2m+1=-$\frac{3}{2}$，解得m=$\frac{7}{2}$；
当m＜0时，cosx=0，f（x）取得最小值1≠-$\frac{3}{2}$，不合题意，舍去；
综上，实数m的值为$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的求值问题，也考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．