Question

3．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，sin∠BAD=$\frac{1}{3}$，sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BD=1．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求△ADC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ADB中，由已知结合正弦定理求得AD的长；
（Ⅱ）利用三角形一个外角等于不相邻两内角和求得sin∠ADC，进一步求得tan∠ADC，然后求解直角三角形得到AC，再由直角三角形中的面积公式求得答案．

解答 解：（Ⅰ）如图
在△ADB中，∵sin∠BAD=$\frac{1}{3}$，sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BD=1，
∴由正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，
∴AD=$\frac{sin∠ABD}{sin∠BAD}•BD=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}}•1=\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由图可知，∠ABD与∠BAD均为锐角，
∵sin∠BAD=$\frac{1}{3}$，sin∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos∠ABD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠ADC=sin（∠ABD+∠BAD）=sin∠ABDcos∠BAD+cos∠ABDsin∠BAD
=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴AD⊥AC，
则$cos∠ADC=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$tan∠ADC=\sqrt{2}$，
∴$AC=\sqrt{2}AD=\sqrt{6}$，
∴△ADC的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形的解法，考查数学转化思想方法，是中档题．