Question

已知F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
（1）若△ABE是锐角三角形，求该双曲线的离心率e的取值范围；
（2）若E（1，0），e=

3

，过圆O：x²+y²=2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于M，N两点，试判断：∠MON的大小是否为定值？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
（2）双曲线方程为x²-

y2

2

=1．设直线MN的方程为y=kx+b，联立

y=kx+b x2- y2 2 =1

，得（2-k²）x²-2kbx-（b²+2）=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已条件利用韦达定理得

OM

•

ON

=0，从而∠MON=90°为定值．

解答： 解：（1）根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=

b2

a

=

c2-a2

a

，|EF|=a+c，
∴

c2-a2

a

＜a+c，即2a²+ac-c²＞0
两边都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．
（2）∵E（1，0），e=

3

，
∴

a=1 c a = 3

，∴b=

3-1

=

2

，
∴双曲线方程为x²-

y2

2

=1．
设直线MN的方程为y=kx+b，
联立

y=kx+b x2- y2 2 =1

，得（2-k²）x²-2kbx-（b²+2）=0，
由直线l与双曲线交于M，N点，
故2-k²≠0，△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

2kb

2-k2

，x1x2=

-(b2+2)

2-k2

，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=

-k2b2-2k2

2-k2

+

2k2b2

2-k2

+

2b2-k2b2

2-k2

=

2b2-2k2

2-k2

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

-b2-2

2-k2

+

2b2-2k2

2-k2

=

b2-2(1+k2)

2-k2

，
∵b²=2（1+k²），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

OM

⊥

ON

，∴∠MON=90°为定值．

点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，考查角的大小是否为定值的判断与求法，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识．