Question

在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为

x=3+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由直线m的参数方程

x=3+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

消去t参数可得：直线m的普通方程．由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ化为ρ²sin²θ=8ρcosθ，得到曲线C的普通方程为y²=8x．由题设直线m与曲线C交于A、B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立方程化为y²-8y-48=0，利用|AB|=

(1+12)[(y1+y2)2-4y1y2]

即可得出．

解答： 解：由直线m的参数方程

x=3+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

消去t参数可得：直线m的普通方程为x-y=6．
由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ化为ρ²sin²θ=8ρcosθ，得到曲线C的普通方程为y²=8x．
由题设直线m与曲线C交于A、B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立方程

y2=8x x-y=6

，化为y²-8y-48=0，
则y₁+y₂=8，y₁•y₂=-48．
于是|AB|=

(1+12)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2(82+4×48)

=16

2

．
故|AB|=16

2

．

点评：本题考查了参数方程极坐标化为普通方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了计算能力，属于中档题．