Question

【题目】对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．

（I）已知集合，，写出，的值；

（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；

（III）已知均有性质，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（I）； （II）见解析； （III）.

【解析】

(Ⅰ)分别求得A+A，B+B，然后可得，的值；

(Ⅱ)将原问题进行等价变形，然后利用反证法证明题中的结论即可；

(Ⅲ)原问题等价于任意两个元素之和均不相同，且任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.据此整理计算即可确定的最小值.

（I）由题意可得：，,

故

（II）要证具有性质，只需证明，若，则.

假设上式结论不成立，即若，则.

即，即，

，.

因为上式的右边为的倍数，而上式的左边为的倍数，所以上式不成立.

故假设不成立，原命题成立.

（III）由题意，集合具有性质，等价于任意两个元素之和均不相同.

如，对于任意的，有，

等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.

令，

所以具有性质.

因为集合均有性质，且，

所以，当且仅当时等号成立.

所以的最小值为.