Question

圆C的半径为1，过圆外的点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则

PA

•

PB

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．由于

OA

⊥

PA

，可得

OA

•

PA

=0，得到cosθ=

1

m

．于是

PA

•

PB

=m2+

2

m2

-3，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：如图所示，
不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．
∵

OA

⊥

PA

，∴

OA

•

PA

=（cosθ，sinθ）•（cosθ-m，sinθ）=cosθ（cosθ-m）+sin²θ=0，
化为cosθ=

1

m

．
∴

PA

•

PB

=（cosθ-m，sinθ）•（cosθ-m，-sinθ）
=（cosθ-m）²-sin²θ
=2cos²θ+m²-3
=m2+

2

m2

-3≥2

m2• 2 m2

-3=2

2

-3，当且仅当m2=

2

时取等号．
∴

PA

•

PB

的最小值为2

2

-3．
故答案为：2

2

-3．

点评：本题考查了直线与圆相切的性质、数量积的运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．