Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若，

（1）求的最值；

（2）求证；四边形的面积为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（1）的最小值为. 的最大值为.（2）见证明

【解析】

（Ⅰ）根据椭圆的离心率及椭圆过点可联立方程组求解（Ⅱ）设直线的方程为，再设，，根据直线与椭圆的位置关系可求出，，由可化简得（1）根据，由k的范围可求出的最值（2）设原点到直线的距离为，则，再由即可求解.

（Ⅰ）由题意，，又，

解得：，，

椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，再设，，

联立，得.

…①

，，

，，

，

，

，得.

（1）

当（此时满足①式），即直线平行于轴时，的最小值为.

又直线AB的斜率不存在时，设，则.

有，

又，可得.

所以.

的最大值为.

(2)设原点到直线的距离为，则

.

.