Question

19．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O-xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点$D（{0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$．
（1）求D，C两点在球O上的球面距离；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；
（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．

解答 解：（1）由题意，cos∠COD=$\frac{\frac{1}{2}}{1×1}$=$\frac{1}{2}$，∴∠COD=$\frac{π}{3}$，
∴D，C两点在球O上的球面距离为$DC=\frac{π}{3}$；
（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∵$\overrightarrow{CD}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=|$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{6}}{1•\frac{\sqrt{3}}{3}}$|=$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，
∴直线CD与平面ABC所成角的大小为$θ=arcsin\frac{{3+\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．