Question

已知函数f（x）=a-

2

2x-1

（a∈R）．
（1）用单调函数的定义探索函数f（x）的单调性：
（2）求实数a使函数f（x）为奇函数．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明．
（2）利用函数的奇偶性得f（-1）=f（1），解得a的值，然后利用函数的奇偶性的定义证明求得的a值符合定义．

解答：解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1-1

）-（a-

2

2x2-1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，
对?x₁，x₂∈（-∞，0），2x1＜1，2x2＜1，即2x1-1＜0，2x2-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．
同理可证f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
（2）若函数是奇函数，则f（-1）=f（1）⇒a=-1，
当a=-1时，对?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），-x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）+f（x）=-1-

2

2x-1

-1-

2

2-x-1

=-2-

2

2x-1

-

2•2x

1-2x

=-2+2=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴当a=-1，使函数f（x）为奇函数．
∴a=-1为所求．

点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的定义及应用，要熟练掌握用定义法证明函数的奇偶性与单调性．