Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F₁B与y轴相交于点D．若AD⊥F₁B，则椭圆C的离心率等于（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  3

• C、

  2

  4

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F₁B，建立方程关系即可得到结论

解答： 解：不妨假设椭圆中的a=1，则F₁（-c，0），F₂（c，0），
当x=c时，由

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

=b²，即A（c，b²），
B（c，-b²），
设D（0，m），∵F₁，D，B三点共线，
∴

m

c

=

b2

-2c

，解得m=-

b2

2

，即D（0，-

b2

2

），
∴若AD⊥F₁B，
则k_AD•k_F1B=-1，
即

b2+ b2 2

c

•

-b2

-c-c

=-1，
即3b⁴=4c²，
则

3

b²=2c=

3

（1-c²）=2c，
即

3

c²+2c-

3

=0，
解得c=

-2± 4+4× 3 × 3

2 3

=

-2±4

2 3

，
则c=

2

2 3

=

3

3

，
∵a=1，
∴离心率e=

c

a

=

3

3

，
故选B．

点评：本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．