【题目】设数列,对任意
都有
,(其中k、b、p是常数).
(1)当,
,
时,求
;
(2)当,
,
时,若
,
,求数列
的通项公式;
(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当
,
,
时,设
是数列
的前n项和,
,试问:是否存在这样的“封闭数列”
,使得对任意
,都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】
(1)当,
,
时,
,再写一式,两式相减,可得数列
是以首项为1,公比为3的等比数列,从而可求
;
(2)当,
,
时,
,再写一式,两式相减,可得数列
是等差数列,从而可求数列
的通项公式;
(3)确定数列的通项,利用
是“封闭数列”,得
是偶数,从而可得
,再利用
,验证,可求数列
的首项
的所有取值.
(1)当,
,
时,
,①
用去代n得,
,②
②①得,
,
,
在①中令得,
,则
,∴
,
∴数列是以首项为1,公比为3的等比数列,
∴.
(2)当,
,
时,
,③
用去代n得,
,④
④③得,
,⑤
用去代n得,
,⑥
⑥⑤得,
,即
,
∴数列是等差数列.
∵,
,∴公差
,∴
.
(3)由(2)知数列是等差数列,∵
,∴
.
又是“封闭数列”,得:对任意m,
,必存在
使
,
得,故
是偶数,
又由已知,,故
.
一方面,当时,
,对任意
,都有
.
另一方面,当时,
,
,则
,
取,则
,不合题意.
当时,
,
,则
,
当时,
,
,
,
又,
∴或
或
或
.
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【题目】已知,
,
,
是各项均为正数的等差数列,其公差
大于零.若线段
,
,
,
的长分别为
,
,
,
,则( ).
A.对任意的,均存在以
,
,
为三边的三角形
B.对任意的,均不存在以
,
,
为三边的三角形
C.对任意的,均存在以
,
,
为三边的三角形
D.对任意的,均不存在以
,
,
为三边的三角形
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【题目】已知函数.
(1)求函数在
上的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移
个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.求证:存在无穷多个互不相同的整数
,使得
.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,直线l与椭圆C交于P,Q两点,且点M满足
.
(1)若点,求直线
的方程;
(2)若直线l过点且不与x轴重合,过点M作垂直于l的直线
与y轴交于点
,求实数t的取值范围.
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【题目】已知函数(
为常数,
且
),且数列
是首项为
,公差为
的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,当
时,求数列
的前
项和
的最小值;
(3)若,问是否存在实数
,使得
是递增数列?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
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【题目】现有六名百米运动员参加比赛,甲、乙、丙、丁四名同学猜测谁跑了第一名.甲猜不是
就是
;乙猜不是
;丙猜不是
中任一个;丁猜是
中之一,若四名同学中只有一名同学猜对,则猜对的是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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