Question

定义在R上的函数f（x）=mx²+2x+n的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m，n都有不等式

n

m2+1

+

m

n2+1

≥

a

2013

恒成立，则实数a的最大值为（　　）

• A、2013
• B、1
• C、

  1

  2

• D、

  2013

  2

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：根据已知条件可以得到m＞0，mn=1，n＞0．由已知的不等式可得：只要让

a

2013

小于等于

n

m2+1

+

m

n2+1

的最小值即可．因为m，n＞0，所以有

n

m2+1

+

m

n2+1

≥2

mn (m2+1)(n2+1)

=2

1 2+m2+n2

，所以只要求2

1 2+m2+n2

的最大值即可，所以只要求m²+n²的最小值即可，根据m²+n²≥2mn=2知m²+n²的最小值为2，这样即可求出

n

m2+1

+

m

n2+1

的最小值为1，所以

a

2013

≤1，所以就能得到a的最大值了．

解答： 解：定义在R上的函数f（x）=mx²+2x+n的值域是[0，+∞）；
∴m＞0，

4mn-4

4m

=0，∴mn=1，∴n＞0；
∴

n

m2+1

+

m

n2+1

≥2

mn (m2+1)(n2+1)

=2

1 m2n2+m2+n2+1

=2

1 2+m2+n2

；
∵m²+n²≥2mn=2，∴2+m²+n²≥4，∴

1

2+m2+n2

≤

1

4

，2

1 2+m2+n2

≤1；
即2

1 2+m2+n2

的最大值为1；
∴

n

m2+1

+

m

n2+1

≥1，即

n

m2+1

+

m

n2+1

的最小值是1；
∴

a

2013

≤1，∴a≤2013，∴实数a的最大值为2013．
故选A．

点评：考查二次函数：y=ax²+bx+c值域的求法，利用基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，a²+b²≥2ab求最值．