Question

14．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（1-a）x-alnx\;，\;a∈R$．
（1）若f（x）存在极值点为1，求a的值；
（2）若f（x）存在两个不同零点x₁，x₂，求证：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}$，利用f（x）存在极值点为1，结合f'（1）=0，求出a．
（2）求出$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=（x+1）（1-\frac{a}{x}）（x＞0）$，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断函数的单调性求出函数的极值，所以当x=a时，f（x）取得极小值f（a），利用f（x）存在两个不同零点x₁，x₂，f（a）＜0，作y=f（x）关于直线x=a的对称曲线g（x）=f（2a-x），令h（x）=g（x）-f（x）=f（2a-x）-f（x），求出导数，利用函数的单调性，最值推出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}$，因为f（x）存在极值点为1，所以f'（1）=0，即2-2a=0，a=1，经检验符合题意，所以a=1．（4分）
（2）$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=（x+1）（1-\frac{a}{x}）（x＞0）$
①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；
②当a＞0时，由f'（x）=0得x=a，
当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）为增函数，当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所f（x）为减函数，
所以当x=a时，f（x）取得极小值f（a）
又因为f（x）存在两个不同零点x₁，x₂，所以f（a）＜0，即$\frac{1}{2}{a^2}+（1-a）a-alna＜0$
整理得$lna＞1-\frac{1}{2}a$，
作y=f（x）关于直线x=a的对称曲线g（x）=f（2a-x），
令$h（x）=g（x）-f（x）=f（2a-x）-f（x）=2a-2x-aln\frac{2a-x}{x}$$h'（x）=-2+\frac{{2{a^2}}}{（2a-x）x}=-2+\frac{{2{a^2}}}{{-{{（x-a）}^2}+{a^2}}}≥0$所以h（x）在（0，2a）上单调递增，
不妨设x₁＜a＜x₂，则h（x₂）＞h（a）=0，即g（x₂）=f（2a-x₂）＞f（x₂）=f（x₁），
又因为2a-x₂∈（0，a），x₁∈（0，a），且f（x）在（0，a）上为减函数，
故2a-x₂＜x₁，即x₁+x₂＞2a，又$lna＞1-\frac{1}{2}a$，易知a＞1成立，故x₁+x₂＞2．（12分）

点评 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．