Question

17．已知a∈[-2，2]，不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，则x的取值范围为（-∞，0）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 将不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0（-2≤a≤2）恒成立转化为（x-2）a+x²-4x+4＞0（-2≤a≤2），构造函数g（a）=（x-2）a+x²-4x+4（-2≤a≤2），由$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$即可求得x的取值范围．

解答 解：a∈[-2，2]，不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立?（x-2）a+x²-4x+4＞0恒成立（-2≤a≤2），
令g（a）=（x-2）a+x²-4x+4（-2≤a≤2），
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6x+8＞0}\\{{x}^{2}-2x＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞4或x＜0．
故x的取值范围为：（-∞，0）∪（4，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪（4，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，将x²+（a-4）x+4-2a＞0（-2≤a≤2）恒成立转化为（x-2）a+x²-4x+4＞0（-2≤a≤2）是关键，考查等价转化思想与构造函数思想的综合运用，属于中档题．