Question

设函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若方程f(x)=0在(-1,1)内有两个实根,求实数a的范围.

Answer 1

解:由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,

令f′(x)=0,解得x₁=0,x₂=a-1.

(1)当a=1时,f′(x)=6x²,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

当a＞1时,f′(x)=6x［x-(a-1)］,

f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,a-1)	a-1	(a-1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	递增	有极大值	递减	有极小值	递增

从上表可知,当a＞1时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.

(2)由(1)可知须a＞1,又f(-1)=-3a+2＜0,

因此,方程f(x)=0在(-1,1)内有两个实根f(1)＜0.

即2-3(a-1)+1＜0且a＞1a＞2.