Question

6．已知函数f（x）=2^x+2^-x
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ）证明f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出f（x）为偶函数，根据偶函数的定义证明即可；
（Ⅱ）根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，这样证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出函数f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）是偶函数；
证明：f（x）的定义域为R，且f（-x）=2^-x+2^x=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
（Ⅱ）证明：设x₁＞x₂≥0，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-（{{2^{x_2}}+{2^{-{x_2}}}}）$
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）+（\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}）$
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂≥0；
∴${2}^{{x}_{1}}＞{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＞0$，x₁+x₂＞0，${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$，$1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．

点评 考查偶函数的定义及判断方法和过程，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，能提取公因式的要提取公因式，以及指数函数的单调性．