Question

已知双曲线C₁：

13x2

16

-

13y2

36

=1，点A、B分别为双曲线C₁的左、右焦点，动点C在x轴上方．
（1）若点C的坐标为C（x₀，3）（x₀＞0）是双曲线的一条渐近线上的点，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；
（3）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（2）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有|PM|=|PQ|？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线C₁的左、右焦点A、B的坐标和渐进线方程，由定义求出椭圆的长轴长，半焦距c，及b，即可得到椭圆方程；
（2）运用正弦定理

|AB|

sinC

=2R得到R=2

2

，又圆心在线段AB的垂直平分线上，求出圆心，即可得到圆的方程；
（3）假设存在这样的定点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t）由恒有|PM|=|PQ|，运用两点的距离公式和切线长公式，化简得到（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0对x∈R恒成立．令系数为0，再消去m，由判别式的符号，即可判断．

解答： 解：（1）双曲线C₁的左、右焦点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），
∵双曲线的渐进线方程为：y=±

3

2

x，
∴点C的坐标为（x₀，3）（x₀＞0）是渐进线y=

3

2

x上的点，即点C的坐标为（2，3）．
∵|AC|=5，|BC|=3∴椭圆的长轴长2a=|AC|+|BC|=8＞|AB|=4，
∵半焦距c=2，∴b²=a²-c²=16-4=12．
∴椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1；    
（2）∵

|AB|

sinC

=2R，∴2R=4

2

，即R=2

2

又圆心在线段AB的垂直平分线上，故可设圆心（0，s）（s＞0）
由4+s²=8，s=2．∴△ABC的外接圆的方程为x²+（y-2）²=8；
（3）假设存在这样的定点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t）
∵恒有|PM|=|PQ|，∴（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8
即（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0对x∈R恒成立．
从而2m+2n-4=0且m²+n²-2nt+4t+4=0，消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0①
∵方程①的判别式△=t²-4t-12
∴①当-2＜t＜6时，方程①无实数解，∴不存在这样的定点M；
②当t≤-2或t≥6时，方程①有实数解，此时

|0-2+t|

2

≥2

2

，即直线y=x+t与圆相离或相切，
故此时存在这样的定点M．

点评：本题考查椭圆、双曲线的方程、定义和性质，考查圆的方程的求法，切线长的求法，考查定点问题，以及化简运算能力，属于中档题．