Question

1．设函数f（x）=|x-a|+|x+1|（x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥$\frac{|2m+1|-|1-m|}{|m|}$对任意实数x与任意非零实数m都恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分x＞1，-1≤x≤1，x＜-1三种情况取绝对值解不等式即可；
（Ⅱ）由$\frac{|2m+1|-|1-m|}{|m|}$≤$\frac{|2m+1-1+m|}{|m|}=3$，得|a+1|≥3，解得a≥2或a≤-4即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）≥3?|x-1+|x+1|≥3．
当x＞1时，f（x）=2x≥3，解得≥$\frac{3}{2}$；
当-1≤x≤1时，f（x）=2≥3，不等式无解．
当x＜-1时，f（x）=-2x≥3，解得x≤-$\frac{3}{2}$；
综上所述，不等式解集为（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）∵$\frac{|2m+1|-|1-m|}{|m|}$≤$\frac{|2m+1-1+m|}{|m|}=3$，
又f（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|
∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤-4．
即a的取值范围为：（-∞，-4]∪[2，+∞）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，属于中档题，