Question

12．一个均速旋转的摩天轮每12分钟逆时针旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，甲从摩天轮最低点处上摩天轮，3分钟后乙也在其最低点处上摩天轮，从乙上摩天轮开始计时，在摩天轮转动的一圈内，有3分钟，甲、乙距地面的高度之和不小于28米．

Answer 1

分析 由题意，设乙与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），求出f（t）的解析式，甲，乙时间t的关系是t+3．甲、乙距地面的高度之和不小于28米，建立不等式关系即可求解，时间t范围．可得答案．

解答 解：设乙与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A=8，B=10，T=12，∴ω=$\frac{π}{6}$．
即f（t）=8sin（$\frac{π}{6}$t+φ）+10，
又∵f（0）=2，φ∈[0，2π），
故φ=$\frac{3π}{2}$
得 f（t）=8sin（$\frac{π}{6}$t$+\frac{3π}{2}$）+10．
当乙在最低点时，距离地面高度2米．此时甲距离地面的高度为：10+8sin（$\frac{π}{6}×3$+$\frac{3π}{2}$）=10米．
设t分钟后甲、乙距地面的高度之和不小于28米，
则：8sin（$\frac{π}{6}$t$+\frac{3π}{2}$）+10+8sin[$\frac{π}{6}$（t+3）$+\frac{3π}{2}$]+10≥28．（0≤t＜12）
化简可得：sin$\frac{π}{6}t$-cos$\frac{π}{6}t$≥1，
即$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{4}$）≥1，
∴$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{6}t-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
故得：3≤t≤6．
即从乙上摩天轮开始计时，3分钟后，甲、乙距地面的高度之和不小于28米，6分钟后甲、乙距地面的高度之和小于28米．
在摩天轮转动的一圈内，有3分钟甲、乙距地面的高度之和不小于28米．
故答案为3．

点评 本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式；考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，注意三角函数的模型的应用．