Question

17．已知函数f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域 
（2）求函数单调递减区间
（3）若f（α）=$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$，求sin 2α的值．

Answer 1

分析 （1）（2）利用二倍角和辅助角公式将函数f（x）化简，根据三角函数的性质及周期公式求解函数f（x）的最小正周期、值域和单调递减区间．
（3）根据f（α）=$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$，找出等式关系，即可求sin 2α的值．

解答 解：函数f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$．
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
∵cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即函数f（x）的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）由余弦函数的性质，
令2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤π+2kπ，k∈Z．
得：2kπ$-\frac{π}{4}$≤x≤2kπ$+\frac{3π}{4}$．
∴函数单调递减区间为[2kπ$-\frac{π}{4}$，kπ$+\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
（3）∵f（α）=$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
可得：cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$．
∵-sin2α=cos（2$α+\frac{π}{2}$）=cos2（$α+\frac{π}{4}$）=cos²（α+$\frac{π}{4}$）-1=$-\frac{16}{25}$，
∴sin 2α=$\frac{16}{25}$．

点评 本题考查了三角函数的化解能力和三角函数性质的应用，属于基础题．