Question

20．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，$2\sqrt{3}a$为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，且$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a²，若$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，则λ=-2或-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，P在x轴上方，Q在x轴的下方，H为PQ的中点，运用圆的垂径定理和点到直线的距离公式可得FH=b，再由向量数量积的定义可得∠PFQ=120°，进而判断PF⊥OF，求得c=2a，PQ=6a，OP=4a，OQ=2a，进而得到λ，由P在x轴下方，Q在x轴的上方，可得λ的另一个值．

解答 解：设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
P在x轴上方，Q在x轴的下方，
H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，
由F（c，0）到渐近线的距离为d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
由$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a²，可得2$\sqrt{3}$a•2$\sqrt{3}$a•cos∠PFQ=-6a²，
解得∠PFQ=120°，
FH=b=2$\sqrt{3}$a•cos60°=$\sqrt{3}$a，
则渐近线的斜率为$\sqrt{3}$，∠POF=60°，
由∠OPF=30°，可得PF⊥OF，
则c=2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2a，
OP=2c=4a，OQ=PQ-OP=2PH-4a=2•2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-4a=2a，
由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，可得λ＜0，
且λ=-2；
当P在x轴下方，Q在x轴的上方，
可得λ=-$\frac{1}{2}$．
即有λ=-2或-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-2或-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆的位置关系，以及平面几何中圆的性质，考查点到直线的距离公式和向量的数量积的定义和向量共线的性质，属于中档题．