【题目】对于函数f(x)=ax2+2x﹣2a,若方程f(x)=0有相异的两根x1 , x2
(1)若a>0,且x1<1<x2 , 求a的取值范围;
(2)若x1﹣1,x2﹣1同号,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)=ax2+2x﹣2a,若方程f(x)=0有相异的两根x1,x2;
当a>0时,二次函数f(x)的图象开口向上,且x1<1<x2,
∴f(1)=a+2﹣2a<0,
解得a>2,
∴a的取值范围是a>2
(2)解:若x1﹣1,x2﹣1同号,则(x1﹣1)(x2﹣1)>0,
∴x1x2﹣(x1+x2)+1>0;
又x1x2=﹣2,x1+x2=﹣ ,
∴﹣2﹣( )+1>0,
解得0<a<2;
又△=4﹣4a×(﹣2a)>0,
解得a∈R;
综上,实数a的取值范围是0<a<2
【解析】(1)a>0时,根据二次函数f(x)的图象与性质,得出f(1)<0,求出a的取值范围即可;(2)根据x1﹣1,x2﹣1同号得出(x1﹣1)(x2﹣1)>0,利用根与系数的关系列出不等式,从而求出a的取值范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用解一元二次不等式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握求一元二次不等式解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
购买意愿强 | 购买意愿弱 | 合计 | |
20~40岁 | |||
大于40岁 | |||
合计 |
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为,求
的分布列和数学期望.
附: .
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【题目】经过原点的直线与椭圆交于
两点,点
为椭圆上不同于
的一点,直线
的斜率均存在,且直线
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设分别为椭圆的左、右焦点,斜率为
的直线
经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于
两点.若点
在以
为直径的圆内部,求
的取值范围.
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【题目】盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得分,现从盒内任取3个球.
(Ⅰ)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;
(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;
(Ⅲ)设为取出的3个球中白色球的个数,求
的分布列及期望.
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【题目】以下结论正确的是( )
A.若a<b且c<d,则ac<bd
B.若ac2>bc2 , 则a>b
C.若a>b,c<d,则a﹣c<b﹣d
D.若0<a<b,集合A={x|x= },B={x|x=
},则A?B
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【题目】某天数学课上,你突然惊醒,发现黑板上有如下内容:
例:求x3﹣3x,x∈[0,+∞)的最小值.解:利用基本不等式a+b+c≥3 ,得到x3+1+1≥3x,于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2,当且仅当x=1时,取到最小值﹣2
(1)老师请你模仿例题,研究x4﹣4x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(提示:a+b+c+d≥4 )
(2)研究 x3﹣3x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(3)求出当a>0时,x3﹣ax,x∈[0,+∞)的最小值.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,若f(log2a)+f(2log a)≥2f(﹣1),则实数a的取值范围是 .
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