Question

已知函数f（x）=ax-lnx（a＞．
（I）求证f（x）≥1+lna；
（II）若对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x₁）=f（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）证明：求导数可得f′（x）=a-（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜
∴x=时，函数取得最小值
∴f（x）≥f（）=1+lna；
（II）解：g′（x）=＞0，∴函数g（x），当时，函数为增函数，∴g（x）∈[，2]
当时，函数f（x）在上单调减，∴f（x）∈[，ae-1]
∴，无解；
当时，函数f（x）在上单调减，在上单调增，f（）=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤
当时，函数f（x）在上单调增，∴f（x）∈[，ae-1]，∴，无解
综上知，＜a≤．
分析：（I）求导数，由导数的正负取得函数的单调性，从而可得函数的最值，即可证明结论；
（II）首先确定g（x）∈[，2]，再分类讨论确定函数f（x）的值域，利用对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x₁）=f（x₂），建立不等式，即可求实数a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．