Question

3．如图1，ABCD 为梯形，其中AD∥BC，AB⊥BC，EF 为梯形中位线，将四边形ADFE 沿EF 折起到四边形A'D'FE 的位置，连接A'B，A'C，如图2．设点G 为线段A'B 上不同于A'，B 的任意一点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A'BC；
（Ⅱ）若点G 为线段A'B 的中点，求证：A'B⊥平面GEF；
（Ⅲ）作出平面GEF 与平面A'BC的交线，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可证EF∥BC，利用线面平行的判定定理即可得证．
（Ⅱ）由点G 为线段A'B 的中点，EA'=EB，可证EG⊥A'B，再由线面垂直的性质可证EF⊥A'B，即可证明A'B⊥平面GEF；
（Ⅲ）取AC的中点H，连接GH，则由GH∥EF，可证GH?平面GEF，又GH?平面A'BC，从而可得平面GEF 与平面A'BC的交线．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵ABCD 为梯形，其中AD∥BC，EF 为梯形中位线，
∴EF∥BC，
又∵BC?平面A'BC，EF?平面A'BC，
∴EF∥平面A'BC；
（Ⅱ）证明：∵点G 为线段A'B 的中点，EA'=EB，
∴EG⊥A'B，
又∵EF∥BC，AB⊥BC，
∴EF⊥EA'，EF⊥EB，
∵EA'∩EB=E，A'B?平面A'BC，
∴EF⊥A'B，
∵EG?平面GEF，EF?平面GEF，
∴A'B⊥平面GEF；
（Ⅲ）取AC的中点H，连接GH，则GH为平面GEF 与平面A'BC的交线，
证明：∵GH∥EF，
∴点H在平面GEF 上，即GH?平面GEF，
又∵GH?平面A'BC，
∴平面GEF∩平面A'BC=GH．

点评 本题主要考查线面垂直的性质和线面平行的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用，属于中档题．