Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$则关于x的不等式f（f（x））≤3的解集为（-∞，2]．

Answer 1

分析 通过换元法，令f（t）≤3，利用分段函数求出t的范围，即f（x）的范围，结合分段函数列出不等式求解即可．

解答 解：不等式f（f（x））≤3，令f（t）≤3，若t≤0，则2^-t-1≤3，2^-t≤4，解得-2≤t≤0；
若t＞0，则-t²+t≤3，t²-t+3≥0，解得t＞0，∴t≥-2，
即原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1≥-2}\\{x≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x≥-2}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得x≤2．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查分段函数的应用，换元法以及转化思想的应用，考查计算能力．