Question

12．已知数列{a_n}，{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（i）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ii）若数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据递推数列求出数列{a_n}的通项公式；
（2）（i）根据等差数列的定义，证明数列{c_n}为等差数列；
（ii）设c_n=a_6（n-1）+i（n∈N^*），判断数列{a_6（n-1）+i}以7为公差的等差数列；
设f_k=$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$，计算f_k+1-f_k的值，求出a₁满足的条件即可．

解答 解：（1）当n≥2时，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$+1；     …（2分）
又a₁=1也满足上式，所以数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$+1；…（4分）
（ 2）（ i）因为对任意的n∈N^*，有b_n+6=$\frac{{b}_{n+5}}{{b}_{n+4}}$=$\frac{1}{{b}_{n+3}}$=$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n+2}}$=b_n，
所以c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1
=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4
=1+2+2+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=7，
所以，数列{c_n}为等差数列；   …（8分）
（ ii）设c_n=a_6（n-1）+i（n∈N^*）（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
所以c_n+1-c_n=a_{6（n-1）+6+i}-a_6（n-1）+i
=b_6（n-1）+i+b_{6（n-1）+i+1}+b_{6（n-1）+i+2}+b_{6（n-1）+i+3}
+b_{6（n-1）+i+4}+b_{6（n-1）+i+5}=7，
即数列{a_6（n-1）+i}均为以7为公差的等差数列；    …（10分）
设f_k=$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$=$\frac{{a}_{i}+7k}{i+6k}$=$\frac{\frac{7}{6}（i+6k）{+a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6k}$=$\frac{7}{6}$+$\frac{{a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6k}$
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）
当a_i=$\frac{7}{6}$i时，对任意的n=6k+i，有$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{7}{6}$；       …（12分）
当a_i≠$\frac{7}{6}$i时，f_k+1-f_k=$\frac{{a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6（k+1）}$-$\frac{{a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6k}$=（a_i-$\frac{7}{6}$i）•$\frac{-6}{[i+6（k+1）]（i+6k）}$
①若a_i＞$\frac{7}{6}$i，则对任意的k∈N有f_k+1＜f_k，所以数列{$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$}为递减数列
②若a_i＜$\frac{7}{6}$i，则对任意的k∈N有f_k+1＞f_k，所以数列{$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$}为递增数列．
综上所述，集合B={$\frac{7}{6}$}∪{$\frac{4}{3}$}∪{$\frac{1}{2}$}∪{-$\frac{1}{3}$}∪{-$\frac{1}{6}$}={$\frac{7}{6}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$}．
当a₁∈B时，数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}中必有某数重复出现无数次；
当a₁∉B时，数列{$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$}（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，
任意一个数在这6个数列中最多出现一次，
所以数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（16分）

点评 本题考查了等差数列的定义与应用问题，也考查了递推数列关系与应用问题，是综合题．