Question

2．下列正确命题有③④．
①“$sinθ=\frac{1}{2}$”是“θ=30^°”的充分不必要条件
②如果命题“（p或q）”为假命题，则p，q中至多有一个为真命题
③设a＞0，b＞1，若a+b=2，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$的最小值为$3+2\sqrt{2}$
④函数f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，则a的取值范围a＜-1或$a＞\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 由特殊角的三角函数值和充分必要条件的定义，即可判断①；
由复合命题的真值表，可得命题“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，即可判断②；
由a＞0，b-1＞0，可得$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$=（a+b-1）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$）展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值，即可判断③；
由函数的零点定理，可得f（-1）f（1）＜0，解不等式即可判断④．

解答 解：①“$sinθ=\frac{1}{2}$”等价为“θ=k•360°+30°或k•360°+150°，k∈Z”，
则“$sinθ=\frac{1}{2}$”是“θ=30^°”的必要不充分条件，故①错；
②如果命题“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，故②错；
③设a＞0，b＞1，若a+b=2，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$=（a+b-1）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$）
=2+1+$\frac{a}{b-1}$+$\frac{2（b-1）}{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{a}{b-1}•\frac{2（b-1）}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}$（b-1）时，取得最小值为$3+2\sqrt{2}$，故③对；
④函数f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，可得f（-1）f（1）＜0，
即为（-3a+1-2a）（3a+1-2a）＜0，解得a＜-1或$a＞\frac{1}{5}$．故④对．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断、复合命题的真值表和基本不等式的运用，以及函数零点判定定理的应用，考查推理和运算能力，属于中档题．