Question

6．设抛物线f_n（x）=x²-2ⁿ⁺¹x+4ⁿ+2n的顶点为P_n（a_n，b_n），c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 由抛物线的性质得c_n=a_n+b_n=2ⁿ+2²ⁿ⁺¹+2n，由此利用分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：∵抛物线f_n（x）=x²-2ⁿ⁺¹x+4ⁿ+2n的顶点为P_n（a_n，b_n），
∴${a}_{n}=-\frac{-{2}^{n+1}}{2×1}$=2ⁿ，b_n=$\frac{4×1×（{4}^{n}+2n）-（-{2}^{n+1}）^{2}}{4×1}$=2（4ⁿ+n），
∴c_n=a_n+b_n=2ⁿ+2²ⁿ⁺¹+2n，
∴数列{c_n}的前n项和：
S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹）+（2+4+6+8+…+2n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$+$\frac{n}{2}（2+2n）$
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{8}{3}（{4}^{n}-1）$+n²+n．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查抛物线性质、等比数列、分组求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．