Question

15．当x≥3时，不等式$x+\frac{1}{x-1}≥a$恒成立，则实数a的取值范围$（{-∞，\frac{7}{2}}]$．

Answer 1

分析 利用导数研究函数的单调性、最值即可得出．

解答 解：令f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，x≥3．
f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x（x-2）}{（x-1）^{2}}$＞0，
因此函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴x=3时，函数f（x）取得最小值，f（3）=3+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$．
∵当x≥3时，不等式$x+\frac{1}{x-1}≥a$恒成立，
则实数a的取值范围是$（-∞，\frac{7}{2}]$．
故答案为：$（-∞，\frac{7}{2}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．