Question

已知函数f(x)＝a^x＋x²－xln a(a>0，a≠1)．
(1)求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)若存在x₁，x₂∈[－1,1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）y＝1
（2）(0，＋∞)
（3）

解：(1)因为函数
f(x)＝a^x＋x²－xln a(a>0)，a≠1)，
所以f′(x)＝a^x  ln a＋2x－ln a，
f′(0)＝0，又因为f(0)＝1，
所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)由(1)知f′(x)＝a^xln a＋2x－ln a
＝2x＋(a^x－1)ln a.
因为当a>0，a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
(3)因为存在x₁，x₂∈[－1,1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1成立，而当x₁，x₂∈[－1,1]时，|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min，所以只要f(x)_max－f(x)_min≥e－1即可．当x变化时，f′(x) ，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	极小值	?

 
所以f(x)在[－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值f(x)_min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)_max为f(－1)和f(1)中的最大值．
f(1)－f(－1)
＝(a＋1－ln a)－
＝a－－2ln a.
令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，
因为g′(a)＝1＋－＝²≥0，
所以g(a)＝a－－2ln a在a∈(0，＋∞)上是增函数.
而g(1)＝0，故当a>1时，g(a)>0，
即f(1)>f(－1)；
当0<a<1时，g(a)<0，即f(1)<f(－1)．
所以当a>1时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1，易得函数y＝a－ln a在a∈(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e；
当0<a<1时，f(－1)－f(0)≥e－1，
即＋ln a≥e－1，易得函数y＝＋ln a在a∈(0,1)上是减函数，解得0<a≤.
综上可知，实数a的取值范围为.