Question

已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝mx－ (m为实数)．
(1)求曲线y＝f(x)在点P()，f()处的切线方程；
(2)求函数g(x)的单调递减区间；
(3)若m＝1，证明：当x>0时，f(x)<g(x)＋.

Answer 1

（1）x－y＋1－＝0
（2）则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．
（3）见解析

解：(1)由题意得所求切线的斜率k＝f′()＝cos＝.
切点P(，)，则切线方程为y－＝ (x－)，
即x－y＋1－＝0.
(2)g′(x)＝m－x².
①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
②当m>0时，令g′(x)<0，解得x<－或x>，
则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．
(3)证明：当m＝1时，g(x)＝x－.
令h(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，
则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．
故当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即sinx<x，f(x)<g(x)＋.